代数的数とは，整数係数多項式の根となる数で，たとえば，3√５はｘ^3−５＝０の根だから代数的数である．

　また，代数的整数とは最高次の係数が１である整数係数多項式の根となる数で，したがって，3√５は代数的整数である．

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【１】サレム数

β(>1)は係数が対称なモニック多項式ｘ^d＋cd-1ｘ^d-1＋・・・＋c0＝０の根

=(x-β)(x-β2)・・・(x-βd),|βi|＜=1

=(x-β)(x-1/β)Π(x-αi),|αi|＜=1

すなわち、１より大きい代数的整数で，その共役数の少なくても１つが単位円上にあり，その他はその円の内部にある数．

知られているサレム数として，最小のものは，

　　ｘ^10＋ｘ^9−ｘ^7−ｘ^6−ｘ^5−ｘ^4−ｘ^3＋ｘ＋１＝０

の実根の最大のもので，ｘ＝１．１７６２８０８１・・・

　この数は１９３３年，レーマーによって発見され，１９７７年にボイドによって確認された．

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【２】ピゾ数（ピゾ・ヴィジャヤラガヴァン数）

β(>1)はモニック多項式ｘ^d＋cd-1ｘ^d-1＋・・・＋c0＝０の根

=(x-β)(x-β2)・・・(x-βd),|βi|＜1

すなわち、１より大きい代数的整数で，その共役数の絶対値が１より小さいもの．最小のピゾ数はｘ^3−ｘ−１＝０の根である１．３２４１７９５・・・．

　この数の存在は１９４４年，サレムによって示され，同年ジーゲルによって値が決定された．

　サレムはピゾ数全体の集合が閉集合であることを示した．ｘ^2−ｘ−１＝０の根であるφ＝１．６１８０３３９８８・・・はその集合の最小の集積点である．２はピゾ数全体の第２導集合の最小元である．

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ζ=2cos(π/5)=(1+√5)/2)=τ,τ^3=2+√5

ζ=cot(π/8)=1+√2

はピゾ数である。

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