■学会にて(京大数理解析研,その69)

 代数的数とは,整数係数多項式の根となる数で,たとえば,3√5はx^3−5=0の根だから代数的数である.

 また,代数的整数とは最高次の係数が1である整数係数多項式の根となる数で,したがって,3√5は代数的整数である.

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【1】サレム数

β(>1)は係数が対称なモニック多項式x^d+cd-1x^d-1+・・・+c0=0の根

=(x-β)(x-β2)・・・(x-βd),|βi|<=1

=(x-β)(x-1/β)Π(x-αi),|αi|<=1

すなわち、1より大きい代数的整数で,その共役数の少なくても1つが単位円上にあり,その他はその円の内部にある数.

知られているサレム数として,最小のものは,

  x^10+x^9−x^7−x^6−x^5−x^4−x^3+x+1=0

の実根の最大のもので,x=1.17628081・・・

 この数は1933年,レーマーによって発見され,1977年にボイドによって確認された.

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【2】ピゾ数(ピゾ・ヴィジャヤラガヴァン数)

β(>1)はモニック多項式x^d+cd-1x^d-1+・・・+c0=0の根

=(x-β)(x-β2)・・・(x-βd),|βi|<1

すなわち、1より大きい代数的整数で,その共役数の絶対値が1より小さいもの.最小のピゾ数はx^3−x−1=0の根である1.3241795・・・.

 この数の存在は1944年,サレムによって示され,同年ジーゲルによって値が決定された.

 サレムはピゾ数全体の集合が閉集合であることを示した.x^2−x−1=0の根であるφ=1.618033988・・・はその集合の最小の集積点である.2はピゾ数全体の第2導集合の最小元である.

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