中間三角形が大きいとき、三角形は閉じる。

中間三角形が小さいとき、三角形は閉じない。

安富真一先生・野田健夫先生(東邦大)は中間三角形PQRが存在するための条件を扱った。

P、Qを固定し、Rを動かすと、ある楕円(x-C)^2/A^2+y^2/B^2=1が存在し、

その楕円の外にRをとると中間三角形は2個存在する。

その楕円の周上にRをとると中間三角形は1個存在する。

その楕円の内部にRをとると中間三角形は0個存在する(存在しない)。

この楕円は三角形ビリヤードの包絡線

Ｆ=0、dＦ/dθ=0

として求められる。

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このような計算にあたって、双曲幾何的な

[1]ベルトラミ・クラインモデル(BK)

[2]ポアンカレモデル(P)

[3]上半面モデル(H)での楕円の対応物を示された。

三角形ビリヤードが閉じる＝周期3の軌道がある。回転数=1/3

閉じない=回転数(1/3,1/2)

回転数が有理数になると星形多角形になるのである

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