■学会にて(京大数理解析研,その60)

2つの円が同心円のとき

外接円の半径:R

内接円の半径:r

とおくと,正n角形ではR=rsec(π/n),星形n/m角形ではR=rsec(mπ/n)が成り立つ.同心円でないとき,

外接円と内接円の中心間距離:d

とおく.

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[1]任意の三角形は外心・内心をもつ.2心間の距離について,2次同次式:

R^2-2Rr=d^2

が成り立つ(オイラー, Chapple-Euler).

オイラーの関係式を導き出すことは見かけより厄介であるが,ポンスレーの定理を使えば簡単に導き出せる.オイラーの関係式を導き出せば,正三角形でない場合,直ちにR ≧ 2rがわかる.

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[2]任意の三角形は外心と内心をもつが,四角形ではそうではない.しかし,双心四角形の場合,4次同次式:

2r^2(R^2+d^2)=(R^2-d^2)^2(フース)

が成り立つ

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[3]双心五角形の基底は

  d^6-2d^4rR+8d^2r^3R-3d^4R^24d^2r^2R^2+4d^2rR^3+3d^2R^4+4r^2R^4-2rR^5-R^6=0

であり,

n=3: 3次同次式

n=4: 4次同次式

n=5: 6次同次式

n=6: 8次同次式

n=7: 12次同次式

n=8: 16次同次式

となる.

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[4]また,星形n角形では( r→ -r)と置き換える必要があり,星形五角形の基底は,

  d^6+2d^4rR-8d^2r^3R-3d^4R^2-4d^2r^2R^2-4d^2rR^3+3d^2R^4+4r^2R^4+2rR^5-R^6=0

で与えられる.

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