半角

(cosθ/2)^2=(1+cosθ)/2

(tanθ/2)^2=(1-cosθ)/(1+cosθ)

二面角は既知

3次元

cosδ= 1/3→2/3,1/2

cosδ= 0→1/2,1

cosδ= -1/3→1/3,2

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2

cosδ= -√5/3→(3-√5)/6,(7-3√5)/2

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4次元

cosδ= 1/4→5/8,3/5

cosδ= 0→1/2,1

cosδ= -1/2→1/4,3

cosδ= -1/2→1/4,3

cosδ= -(1+√5)/4→(3-√5)/8,5+2√5=4τ+3=√5τ^3

cosδ= -(1+3√5)/8→(7-3√5)/16,27+12√5

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｎ次元

cosδ= 1/n→(n+1)/2n,(n-1)/(n+1)

cosδ=0→1/2,1

cosδ= -(n-2)/n→1/n,n-1

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ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ＝1

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ＝√2

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ＝2φ

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正八面体では

cosδ= -1/3→1/3,2

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　１　　　３・・・(sec)^2

　　　　３　　　１　　　２・・・(tan)^2

　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　０

とおけて

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=1

(tanγ)^2=2

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ＝√2と一致 　

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正16胞体では

cosδ= -1/2→1/4,3

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　２　　　１　　　４・・・(sec)^2

　　　　３　　　３　　　１　　　３・・・(tan)^2

　　　　　　４　　　１　　　２

　　　　　　　　１　　　１　

　　　　　　　　　　０

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正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ＝τ

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ=√5τ^-3

(tanγ)^2=τ^4

正20面体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　τ^4　4τ^-4　　τ^2　　３・・・(sec)^2

　　　　３　　√5τ^-3　τ^4・・・(tan)^2

　　　　　　1　　　１

　　　　　　　　０

(7-3√5)/2＝τ^4＝−３φ＋５＝(-3-3√5）/2+10/2

3τ^2＝6/(3-√5)＝3(3+√5)/2

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a=(1/τ^4)^1/2, b=(1/3τ^4)^1/2,c=(1/3)^1/2

{3,5}: a1=1,a2=1/√3,a3=a2・τ2で一致

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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正600胞体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　4τ^-2 τ^2　4τ^-2　　１　　28+12√5 ・・・(sec)^2

　　　　３　　　３　　√5τ^-3　27+12√5・・・(tan)^2

　　　　　 8τ^-2　τ^-2　　14+6√5

　　　　　　　　-8τ+13 (9+4√5)

　　　　　　　　　　　０

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正12面体ではα=π/5,β=π/3→(10-2(5)^1/2)^1/2sinγ＝2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2=2{(10+2(5)^1/2)^1/2}/(80)^1/2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2={(10+2(5)^1/2)^1/2}/2(5)^1/2

(sinγ)^2={(10+2(5)^1/2)}/20

(cosγ)^2={(10-2(5)^1/2)}/20

(tanγ)^2=τ

(tanα)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=τ

正12面体では

１　　　１　　　１　　　　　１　　　　　１

　√5τ　　　4　　　　１　　　　√5τ

　　　√5τ^-3 　3　　　　　τ^2

　　　　　　τ^-4　 τ^4

　　　　　　　　０

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2

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正120胞体では

１　　　１　　　１　　　　　１　　　　　１　　　　１

　4τ^-6　　τ^4　　　4τ^-4　　　τ^4 4τ^-2

　　　√5τ^-3 　3　　　　　３ √5τ^3

　　　　　　4τ^-8　 2τ^4　　　４

　　　　　　　　τ^-6 τ^6

0

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