■エルランゲン・プログラムと変換群(その29)

半角

(cosθ/2)^2=(1+cosθ)/2

(tanθ/2)^2=(1-cosθ)/(1+cosθ)

二面角は既知

3次元

cosδ= 1/3→2/3,1/2

cosδ= 0→1/2,1

cosδ= -1/3→1/3,2

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2

cosδ= -√5/3→(3-√5)/6,(7-3√5)/2

===================================

4次元

cosδ= 1/4→5/8,3/5

cosδ= 0→1/2,1

cosδ= -1/2→1/4,3

cosδ= -1/2→1/4,3

cosδ= -(1+√5)/4→(3-√5)/8,5+2√5=4τ+3=√5τ^3

cosδ= -(1+3√5)/8→(7-3√5)/16,27+12√5

===================================

n次元

cosδ= 1/n→(n+1)/2n,(n-1)/(n+1)

cosδ=0→1/2,1

cosδ= -(n-2)/n→1/n,n-1

===================================

ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ=1

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ=√2

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=2φ

===================================

正八面体では

cosδ= -1/3→1/3,2

1   1   1   1   1

  2   2   1   3・・・(sec)^2

    3   1   2・・・(tan)^2

      1   1

        0

とおけて

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=1

(tanγ)^2=2

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ=√2と一致  

===================================

正16胞体では

cosδ= -1/2→1/4,3

1   1   1   1   1   1

  2   2   2   1   4・・・(sec)^2

    3   3   1   3・・・(tan)^2

      4   1   2

        1   1 

          0

===================================

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=τ

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ=√5τ^-3

(tanγ)^2=τ^4

正20面体では

1   1   1   1   1

  τ^4 4τ^-4  τ^2  3・・・(sec)^2

    3  √5τ^-3 τ^4・・・(tan)^2

      1   1

        0

(7-3√5)/2=τ^4=−3φ+5=(-3-3√5)/2+10/2

3τ^2=6/(3-√5)=3(3+√5)/2

===================================

a=(1/τ^4)^1/2, b=(1/3τ^4)^1/2,c=(1/3)^1/2

{3,5}: a1=1,a2=1/√3,a3=a2・τ2で一致

===================================

  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

===================================

正600胞体では

1   1   1   1   1   1

 4τ^-2 τ^2 4τ^-2  1  28+12√5 ・・・(sec)^2

    3   3  √5τ^-3 27+12√5・・・(tan)^2

      8τ^-2 τ^-2  14+6√5

        -8τ+13 (9+4√5)

           0

===================================

正12面体ではα=π/5,β=π/3→(10-2(5)^1/2)^1/2sinγ=2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2=2{(10+2(5)^1/2)^1/2}/(80)^1/2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2={(10+2(5)^1/2)^1/2}/2(5)^1/2

(sinγ)^2={(10+2(5)^1/2)}/20

(cosγ)^2={(10-2(5)^1/2)}/20

(tanγ)^2=τ

(tanα)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=τ

正12面体では

1   1   1     1     1

 √5τ   4    1    √5τ

   √5τ^-3  3     τ^2

      τ^-4  τ^4

        0

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2

===================================

正120胞体では

1   1   1     1     1    1

 4τ^-6  τ^4   4τ^-4   τ^4 4τ^-2

   √5τ^-3  3     3 √5τ^3

      4τ^-8  2τ^4   4

        τ^-6 τ^6

0

===================================