双曲平面において、直交する２本の直線を固定し、それらの端を(0,∞),(1,-1)と名付ける。交点をOとする。

[a](0,∞)に関する鏡映はx'=x

[b](1,-1)に関する鏡映はx'=1/x

[c](0,∞)に沿っての平行移動はx'=ax

[d](0,∞)に関する鏡映と直線(a/2,∞)に関する鏡映の合成は∞周りの回転と呼ばれ、x'=x+a

[e]0をaに写す点O周りの回転はx'=(x+a)/(-ax+1)

[f]とくに0を∞に写すO周りの回転はx'=-1/xに写した。

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ハーツホーンによる双曲三角法はほとんどの本における公式とは違って見える。ハーツホーンによる双曲三角法には・・・

t=tan(α/2)

sinα=2t/(1+t^2),cosα=(1-t^2)/(1+t^2),tanα=2t/(1-t^2)

tan(a~/2)=1/a

sin(a~)=2a/(1+a^2)

cos(a~)=(a^2-1)/(a^2+1)

tan(a~)=2a/(a^2-1)

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sinh,cosh,tanhは現れない

sin(a~)=1/cosha

cos(a~)=tanha

tan(a~)=1/sinhaで翻訳される

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　それに対して，双曲的三角法では，球面正弦定理のＲをｉＲに置き換えることによって，

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎｈ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｃ／Ｒ）

が得られる・・・と書かれている。

ハーツホーンの書式に直すと

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝1/tan(a~):1/tan(b~):1/tan(c~)

tan(a~)=2a/(a^2-1)となるのだろうか→乗法的長さと加法的長さの不一致が見られる。

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　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎｈ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｃ／Ｒ）

は,右辺が{exp(a)-exp(-a)}/2={exp(2a)-1}/2exp(a)であるから

exp(a)→a

とすればハーツホーンの書式に一致する

乗法的長さと加法的長さの不一致は

exp(loga)→aとすれば解消されることになる。

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