双曲平面において、直交する２本の直線を固定し、それらの端を(0,∞),(1,-1)と名付ける。交点をOとする。

[a](0,∞)に関する鏡映はx'=x

[b](1,-1)に関する鏡映はx'=1/x

[c](0,∞)に沿っての平行移動はx'=ax

[d](0,∞)に関する鏡映と直線(a/2,∞)に関する鏡映の合成は∞周りの回転と呼ばれ、x'=x+a

[e]0をaに写す点O周りの回転はx'=(x+a)/(-ax+1)

[f]とくに0を∞に写すO周りの回転はx'=-1/xに写した。

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直線は(u1,u2)で表現される

直線の方程式は,u1u2-(b(u1+u2)+a^2=0,|b|＜a

の形で与えられる。

直線(a,-a)と(b,∞)の交点は(a,b)

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