角αがcosα=1/3(tanα=2√2)を満たすならばαはπの有理数倍ではないことを証明せよ。

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z=cosα+isinα=1/3+2/3・√(-2)

ｚはＱ上3z^2+2z+3=02次方程式3z^2+2z+3=0の解である

ｚはＱ上の2次体Q(z)を生成する。

もしαがαはπの有理数倍ならばα=p/q・2πと書ける。(p,q)=1

この場合、ｚは1の原始q乗根となり、最小多項式は円分多項式、その次数はφ(q)である。

今の場合、φ(q)＝2

しかし、φ(q)＝2を与えるｑは3，4，6のみ。

対応する拡大体はQ(i)とQ(√(-3))となって、どちらもQ(√(-2))でない→矛盾。

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