【１】２次方程式の場合

(1)２次方程式を解くこと

(2)体の元の平方根を添加すること

(3)体の2次拡大を考えること

は同値である。これは幸運な状況であった。

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【２】３次方程式の場合

３次方程式の実根が立方根で表されるとは限らない

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【３】４次方程式の場合

(1)中間の２次の部分体をもたないような４次の拡大を与えるかもしれない

(2)４次方程式の実根が平方根や４乗根で表されるとは限らない

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実根に限定すれば、３次方程式・４次方程式の体の拡大は

K(√a)

K(3√a)

K(cos(θ/3)

すなわち、平方根と立方根、角の三等分をとることで表現できる。

x^3-a=0は立方根

x^3-3x-b=0,|b|＜2は角の三等分をとることに対応している

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実根αをもつ４次方程式は実根βももつから

x^4+px^2+qx+r=(x^2+ax+b)(x^2-ax+c)と因数分解される。

b,cを消去すると3次方程式

y^3+2py^2+(p^2-4r)y-q^2=0

に帰着されるというわけである。

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こうして、正ｎ角形がコンパスと標識定規で作図できるとき

n=2^a・3^bΠpi

pi=2^k・3^l+1型の異なる素数である。

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