【１】デカルトの式

多面体の頂点周りの角不足をδで表すことにすると

δ=2π-（頂点周りの角度の和）

となる。凸多面体では角不足の総和が4πになるというものである。

Σδ＝４π

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正多面体{p.q}ではδｖ＝4π

また内角はπ(p-2)/pなので、各頂点周りの内角の和はπq(p-2)/p＜2π,

これより

正20面体{3,5}の場合、

δ＝360-5・60＝60

ｖ＝720/60＝15

e=qv/2=30

f=2+e-v=20

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【２】オイラーの公式

χ=v-e+f,

Σδ＝2πχ

となる。

球上ではχ=2→Σδ＝4π

トーラス上ではχ=0→Σδ＝0

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平面における正則タイル貼りは{3,6},{4,4},{6,3}の３つのみである。

また内角はπ(p-2)/pなので、各頂点周りの内角の和はπq(p-2)/p＝2π,

(p-2)(q-2)=4

{3,6},{4,4},{6,3}である

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