【１】デカルトの式

多面体の頂点周りの角不足をδで表すことにすると

δ=2π-（頂点周りの角度の和）

となる。凸多面体では角不足の総和が4πになるというものである。

Σδ＝４π

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正多面体{p.q}ではδｖ＝4π

また内角はπ(p-2)/pなので、各頂点周りの内角の和はπq(p-2)/p＜2π,

これより

正20面体{3,5}の場合、

δ＝360-5・60＝60

ｖ＝720/60＝15

e=qv/2=30

f=2+e-v=20

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【２】オイラーの公式

χ=v-e+f,

Σδ＝2πχ

となる。

球上ではχ=2→Σδ＝4π

トーラス上ではχ=0→Σδ＝0

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立方八面体{3,4,3,4}に対しては

δ=360-(60+90+60+90)=60

v=720/δ=12

e=qV/2=24

f=2+e-v=14

また双対を考えると。元の三角形1/3を2つと元の四角形1/4を2つ含むから、

2/3個の三角形、2/4個の正方形→三角形：正方形=4:3

したがって、

三角形の個数は14・4/7＝8

正方形の個数は14・3/7＝6

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切頂20面体{5,6,6}に対しては

δ=360-(108+120+120)=12

v=720/δ=60

e=qV/2=90

f=2+e-v=32

また双対を考えると。元の五角形1/5を1つと元の六角形1/6を2つ含むから、

1/5個の五角形、2/6個の六角形→五角形：六角形=3：5

したがって、

五角形の個数は32・3/8＝12

六方形の個数は32・5/8＝20

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