【１】デカルトの式

多面体の頂点周りの角不足をδで表すことにすると

δ=2π-（頂点周りの角度の和）

となる。凸多面体では角不足の総和が4πになるというものである。

Σδ＝４π

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正多面体{p.q}ではδｖ＝4π

また内角はπ(p-2)/pなので、各頂点周りの内角の和はπq(p-2)/p＜2π,

これより

正20面体{3,5}の場合、

δ＝360-5・60＝60

ｖ＝720/60＝15

e=qv/2=30

f=2+e-v=20

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】オイラーの公式

χ=v-e+f,

Σδ＝2πχ

となる。

球上ではχ=2→Σδ＝4π

トーラス上ではχ=0→Σδ＝0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝