正多面体の二面角δは

　　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３

　　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３

　　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３

　　｛４，３｝→ｃｏｓδ＝０

　　｛５，３｝→ｃｏｓδ＝−√５／５

と計算される．

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メッサーの式

sin(δ/2)=cos(π/q)/sin(π/p)

{(1-cosδ)/2}^1/2=cos(π/q)/sin(π/p)

と比較してみたい.

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　　｛３，３｝→1/3＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝１／３

　　｛３，４｝→2/3＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝−１／３

　　｛３，５｝→τ^2/3＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝−√５／３

　　｛４，３｝→1/2＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝０

　　｛５，３｝→4/（10-2√5）＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝−√５／５

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半稜線に対する中心角φ

cosφ=cos(π/p)/sin(π/q)

ε=2φ

ε+双対多面体の二面角＝πが成り立つ

　　｛３，３｝→2arccos1/√3＝arccos(-1/3)

　　｛３，４｝→2arccos1/√2＝arccos0

　　｛３，５｝→2arccos√（5＋√5）/10）＝arccos(√5/5）＝arctan2

　　｛４，３｝→arccos(1/3)

　　｛５，３｝→2arccos(τ^2/√3）＝arcsin（2/3）

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例えば、アルキメデス立体の各頂点において、外接球の接平面を配置するとその包絡面がアルキメデス双対となり、

アルキメデス立体の外接球はアルキメデス双対の内接球となる。

ε+双対多面体の二面角＝πはそれを表しているのである。

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