立方体の各辺に沿って、切頂すると

1/(1+√2)→切頂立方体

1/2→立方八面体

3/4→切頂八面体

1→正八面体ができる。

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1/2までは切断面は互いに干渉しないが、この点を超えると切断面が交わるようになり、

3/4→切頂八面体

1→正八面体が生成されると、もとの正方形の各面は消滅する。

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正八面体の各辺を1/3の点で切断すると切頂八面体ができることは容易にわかるが、

立方体の各辺の1/2を超えると切断面は互いに干渉するので、なかなか想像しにくいところがある。

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外見からは一見して明らかではないのであるが、切頂八面体はアルキメデス立体の中で唯一の空間充填図形である。

この空間充填性は切頂八面体に外接する立方体を8個の小立方体を正六角形面で二等分していることから理解することができる。

また、切頂八面体の体積はそれに外接する立方体の半分になるのである。

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切頂八面体が14面であることも重要で、これに対応する2次元図形は六角形、4次元図形は30胞体、

ｎ次元図形はfn=2(2^n-1)になるのである。

fn=fn-1+2・2^(n-1)=2(2^n-1-1)+2^n=2(2^n-1)とサンドイッチ分割できるが、これが次元論の基本となっているのである。

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