■正多角形の作図法則（その７５）
【１】ガウス
定規とコンパスだけで正３角形，正４角形，正６角形，正８角形が作図できることは簡単にわかりますが，辺の数５，７，９の場合はどうでしょうか．正５角形は古代ギリシャにおいて作図可能であることが発見されました．となれば，次に正７角形・正９角形の作図は？と考えるのは自然な成り行きでしょう．
ところが，かのアルキメデスでさえも正７角形・正９角形の作図に成功しなかったといわれています．また，内接正多角形の作図は画家であり建築家であるレオナルド・ダ・ヴィンチの関心を惹きました．しかし，彼でさえ近似的な内接正七角形の作図を正確なものと思っていたようです．
辺数３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６の正多角形は作図できますが，辺数７，９，１１，１３，１４の正多角形は作図できないことから，正１７角形もそうであろうと推察されます．ところが，１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつき，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．
正７角形も正９角形も作図できないのに，まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが，このことを用いると，ｍ＝０のとき正３角形，ｍ＝１のとき正５角形，ｍ＝２のとき正１７角形となり，作図可能であることがわかります．当然，ずっと面倒になるでしょうが，正２５７角形（ｍ＝３），正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です．
２2^m＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．フェルマー素数はガウスによって１世紀にわたる眠りから覚まされ，数論と幾何学に新たな美しさを吹き込んだことになります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｍ＝５のときは素数ではなく，現在，ｍ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．６番目のフェルマー素数の探索がコンピュータを使ってなされていますが，はたして本当に存在するのでしょうか．
アルキメデスは円柱とそれに内接する球の体積比が３：２であることを発見した記念に，自分の墓の上に円柱の形をした記念碑をおくように遺言したといわれています．アルキメデスと同じように，ガウスは正１７角形を墓石に彫るよう遺言しています．このことはガウス自身がその発見をいかに重視したかを物語っています．数々の大発見をしたガウスですが，１９才の青年がアルキメデスをもってしてもできなかった古代ギリシア以来２０００年の謎を解いたのですから，まさに驚きとしかいいようがありません．この正１７角形の作図は彼を本格的に数学の道に入らせるきっかけとなったといわれています．
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１７９６年、ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつき，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２^2^m＋１が素数のとき（あるいは互いに異なるフェルマー素数の積のとき）に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．
すなわち，正ｎ角形の作図において，ｎは異なるフェルマー素数か２のベキ乗との積
ｎ＝２^kΠＦm
でなければなりません．したがって，
［１］ｎ＝２，３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６，１７，２０，２４，３０ → 作図可能
［２］ｎ＝７，９，１１，１３，１４，１８，１９，２１，２２，２３，２５ → 作図不可能
となって，幾何学的に解ける正奇数角形は，２^5−１＝３１通り，最大
３・５・１７・２５７・６５５３７＝４２９４９６７２９５
角形まであります．
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【２】ガウスを越えて
正多角形の作図は円周等分問題という幾何学問題ですが，ｘ^n−１＝０という代数方程式の解と密接な関係にあります．正５角形の作図は黄金比と関連していて，２次方程式：ｘ^2−ｘ−１＝０を解く，すなわち（√５＋１）／２を求めることによって可能となりました．ギリシャ人は黄金分割を用いた見事な方法で正五角形の作図に成功したのですが，この方法は二次方程式の幾何学的解法を利用した賢明な方法といえます．
一方，正７角形，正９角形はそれぞれ３次方程式：ｘ^3＋ｘ^2−２ｘ−１＝０，ｘ^3−３ｘ＋１＝０に帰着します．したがって，正７角形，正９角形の作図や倍積問題のように３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けません．
ところが，リンク装置を使えば角を３等分できます．また，近年になって折り紙を使っても角の３等分が可能であることが示されました．また，折り紙を使えば倍積問題が解けます．折り紙は３次方程式・４次方程式を解く力をもっているというわけです．
定規とコンパスでは正７，９，１１，１３，１４，・・・角形を構成できませんが，折り紙では２^u３^v＋１という形の素数になるとき構成することができますから，構成できない最小の正ｎ角形はｎ＝１１であり，以下２２，２３，２５，２９，・・・と続き，より多くの正多角形を構成することができます．
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コンパスと標識定規による作図の場合は
ｎ＝２^a３^b＋１
に限り，標識定規とコンパスで作図可能であることが示されています．したがって，
［１］ｎ＝７，９，１３，１９ → 作図可能
［２］ｎ＝１１ → 作図不可能
すなわち，コンパスと定規のみをを使うという制限下では，正三角形・正方形・正五角形・正六角形の作図には成功するものの，正七角形と正九角形では躓いてしまう．それに対して，折り紙では正十一角形は困難なものの，正七角形と正九角形の作図はあっさり成功するのである．
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【３】もしも
折り紙の折り目による包絡線として円錐曲線を表すことができますから，折り紙は２次方程式を解く力ももっています．折り紙は３次方程式・４次方程式を解く力ももっています．４次を超える能力はありませんが・・・．
もし折り紙が５次方程式（・６次方程式）を解く力ももっていたら，
ｎ＝２^a３^b５^c＋１
という形の素数になるとき構成することができると思われます．そうであれば，正十一角形の作図もあっさり成功，構成できない最小の正ｎ角形はｎ＝２２となります．
もし折り紙が７次方程式（・８次方程式）を解く力ももっていたら，
ｎ＝２^a３^b５^c７^d＋１
となって，正二十二角形の作図も成功？
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