■フェルマー数の整除性(その20)

  e5(100!)=[100/5]+[100/5^2]=20+4=24

  e5(1000!)=[1000/5]+[1000/5^2]+[1000/5^3]+[1000/5^4]=200+40+8+1=249

より,1000!/10^250は整数ではないとした.

 それでは

[Q]1000!=?  (mod10^250)

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  e2(100!)=[100/2]+[100/2^2]+[100/2^3]+[100/2^4]+[100/2^5]+[100/2^6]=97

  e2(1000!)>500

  e5(1000!)>249

 したがって,ある偶数aがあって,

  1000!=a・10^249

また,1000=(13000)5より

  a・2^249=1000!/5^249=−1 (mod5)

  2^249=2 (mod5)

  a=2 (mod10)→a=2または7 (mod10)

  aは偶数であるから,a=2.

[A]1000!=2・10^249  (mod10^250)

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