単位円に内接/外接するする正6，12，24，48，96，192角形の面積を求めよ。

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アルキメデスはπの攻略法を初めて考案した人物ですが，まず，半径１の円に内接・外接する２つの正六角形を描きました．単位円に内接する正ｎ角形の周長は

　　Ｌ1＝２ｎｓｉｎ（π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｌ2＝２ｎｔａｎ（π／ｎ）

ですから，ｎ＝６のとき

ｎｓｉｎ（π／ｎ）＜π＜ｎｔａｎ（π／ｎ）

６・１/２＜π＜６/√３

３＜π＜２√３

　これだけでπの値は

　　３＜π＜２√３＝３．４６

が得られます．

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半径１の円に正十二角形を内接させると，その周長は

　　２４ｓｉｎ１５°

半角の公式を憶えていれば，直ちに，

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４

同様に，半径１の円に正十二角形を外接させると，その周長は

　　２４ｔａｎ１５°

　　ｔａｎ１５°＝１／（２＋√３）＝２−√３

より，

π＜１２（２−√３）＝３．２１５３９

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正多角形の周長の代わりに面積を用いて大小比較する場合，単位円に内接する正ｎ角形の面積は

　　Ｓ1＝1/２・ｎｓｉｎ（2π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｓ2＝ｎｔａｎ（π／ｎ）

ですが，正１２角形でも足りず，正２４角形・・・について検討する必要があります．

アルキメデスは正多角形の辺数を２倍に増やす方法を知っていたので，計算はかなり面倒になりますが，６→１２→２４→４８→９６と辛抱強く繰り返し，最終的に正９６角形を使って，πの近似値を求めたのです．

　　３・１０／７１＜π＜３・１／７

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　これを円周率をメインにして書くと，それぞれ

　　ｎｓｉｎ（π／ｎ）≦π≦ｎｔａｎ（π／ｎ）

　　ｎｓｉｎ（π／ｎ）ｃｏｓ（π／ｎ）≦π≦ｎｔａｎ（π／ｎ）／ｃｏｓ（π／ｎ）

となって，周長を使った方が近似度が高くなることがわかります．

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