■相貫体(その15)

[1]3辺の長さがx,y,zである三角形4枚からなる等面四面体の体積は?

 等面四面体を直方体(a,b,c)に内接させる.

  a^2+b^2=x^2

  b^2+c^2=y^2

  c^2+a^2=z^2

より,

  a^2=(x^2−y^2+z^2)/2,b^2=(x^2+y^2−z^2)/2,c^2=(−x^2+y^2+z^2)/2

  V=abc−4abc/6=abc/3={(x^2−y^2+z^2)(x^2+y^2−z^2)(−x^2+y^2+z^2)}1/2/6√2

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[2]4辺の長さが6,7,8,9である四角形の面積が最大となるときの面積は?

 円に内接するとき面積は最大となる.このときヘロンの公式より

  S={s(s−a)(s−b)(s−c)}^1/2=12√21

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