■相貫体(その14)

 鋭角三角形の3中点を結ぶと,三角形は4等分される.中線を連結した線に沿って折り曲げると等面四面体ができあがる.(その17)の問題

[1]3辺の長さが2,√3,√3であるテトラパック(等面四面体)の体積は?

 等面四面体を直方体(a,b,c)に内接させる.

  a^2+b^2=4

  b^2+c^2=3

  c^2+a^2=3

より,

  a^2=1,b^2=1,c^2=2

  V=abc−4abc/6=abc/3=(√2)/3

では等面四面体が直方体(a,b,c)に内接することを説明しなかった.

 実は等面四面体の対辺はねじれの位置にあり,そのため,6辺は直方体に内接するのである.逆にいうと,任意の直方体の4頂点を結べば等面四面体ができあがるのである.

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[2]3辺の長さが6,7,8である三角形4枚からなる等面四面体の体積は?

 等面四面体を直方体(a,b,c)に内接させる.

  a^2+b^2=8^2

  b^2+c^2=6^2

  c^2+a^2=7^2

より,

  a^2=77/2,b^2=51/2,c^2=21/2

  V=abc−4abc/6=abc/3=7/4・√374

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