■ケプラー三角形(その10)

 (その3)では

  a=(a+2b)/{b^2−a^2/4}^1/2

  a^2(b^2−a^2/4)=(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2

  (a^2−4)b^2−4ab−a^4/4−a^2=0,a>2

としたが,

  a=(a+2b)/h

  h=(a+2b)/a

に等しい.

 ここで,

  1/2・ah=1/2・(a+2b)

  b=a(h−1)/2

をb^2=(a/2)^2+h^2に代入して整理すれば,算法助術の表記

  h=2a^2/(a^2−4)

が得られる.

 しかし,この式には最小化したいbの情報が含まれていない.ケプラー三角形の問題を解くにはbとa,あるいは,bとhの式にする必要がある.

 前者は: a^2(a−2b)+4(a+2b)=0

後者は

  2b=a(h−1)

をh=(a+2b)/aに代入するとh=hなってしまうので,

  a/2=b/(h−1)

をb^2=(a/2)^2+h^2に代入して整理すれば,

  b^2=b^2/(h−1)^2+h^2

  b^2{1−1/(h−1)^2}=h^2

  b^2{1−1/(h−1)^2}=h^2

  b^2=h(h−1)^2/(h−2)

となって,b^2を最小化するhを求める問題となる.

 これは最も簡単にグラフ表示可能な形で,解は

  {(h−1)^2+2h(h−1)}(h−2)−h(h−1)^2=0

  (h−1+2h}(h−2)−h(h−1)=0

  h^2−3h+1=0→h=(3+√5)/2=τ^2

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