三角形の３辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積を△，外接球，内接球の半径をＲ，ｒとすれば，

　　ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

さらに，

　　ｓ1＝ａ＋ｂ＋ｃ，ｓ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，ｓ3＝ａｂｃ

とおくこともである．

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　△＝（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ／２

はわかりやすいが，

　　ａｂｃ＝４Ｒ△

について，説明しておきたい．

　△＝ｂｃ／２・ｓｉｎＡ

ここで，正弦定理より

　　ａ／ｓｉｎＡ＝２Ｒ→ｓｉｎＡ＝ａ／２Ｒ

　△＝ｂｃ／２・ｓｉｎＡ

に代入すると

　△＝ａｂｃ／４Ｒ

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　ヘロンの公式は

　　△^2＝ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ），ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２

　　１６ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）＝ｓ1（－４ｓ1^3＋ｓ1ｓ2－８ｓ3）＞０

　これから，不等式

　　（４ｓ2－ｓ1^2）／９≦ｓ3／ｓ1≦（４ｓ2－ｓ1^2）／８

　　ｓ1／３≧（ｓ2／３）^1/2≧ｓ3^1/3

が得られる．

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