■九点円(その2)

 フォイエルバッハの9点円の中心はオイラー線の中点で,その半径は外接円の半径の半分となります(r=R/2).したがって,一般に,その半径は内接円の半径より大きくなります.

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[Q]任意の三角形の三辺の長さをa,b,c,面積をΔとする.外接円の半径Rおよび内接円の半径rをa,b,c,Δで表せ.

(ヒント)正弦定理

[Q]与えられた三角形が直角三角形のときのR,rをa,b,cの一次式で表せ.

(ヒント)コラム「ピタゴラス三角形の内接円と傍接円」参照

[Q]R≧2rを証明せよ.等号が成り立つのはどのようなときか.

(ヒント)外接円と内接円の中心間の距離をdとおくとき,R^2−2Rr=d^2が成り立っています(オイラーの定理).

 この関係式を導き出せば,ただちにR≧2rがわかるのですが,この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで,ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です.

 ヘロンの公式とは,

Δ^2=(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)/16

  =(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)/16

ここで,2s=a+b+cとおくと

Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

となり,おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます.

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