九点円の周上には９つの特別な点が載る。垂線と対辺との交点３つ、辺の中点３つ、垂心と頂点を結ぶ線の中点3つである。

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【１】オイラー線

　３点あるいはそれ以上の点が一直線上にあることを主張する定理は共線定理と呼ばれます．たとえば，三角形の外心と重心と垂心はその順番に一直線上に並んでいて，外心と垂心を結ぶ線分が重心によって１：２に内分されています（ＧＨ＝２ＯＧ）．この共線はオイラー線と呼ばれています．

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【２】９点円の中心

　三角形の中心を定める方法は主として４つあり，それぞれ異なる場所にある（正三角形の場合，４点はすべて一致する）．垂心，外心，重心，最後が９点円の中心で，９点円は各辺の中心と垂線の足を通る．

　外心と重心の中点はフォイエルバッハの９点円の中心であり，フォイエルバッハの９点円は各辺の中点，各頂点から対辺へ下ろした垂線の足，頂点と垂心の中点の９個の点を通る円となっています（１８２１年：ポンスレとブリアンション）．

　このことから，オイラー線（１７６７年）は外心・重心・垂心・フォイエルバッハの９点円の中心を相互に結ぶ直線ということになりますし，フォイエルバッハの９点円の中心はオイラー線の中点で，その半径は外接円の半径の半分となります（ｒ＝Ｒ／２）．

　また，三角形の外心と重心と９点円の中心と垂心はその順番に一直線上に並んでいて，外心と垂心を結ぶ線分が重心と９点円の中心によって２：１：３に内分されています（ＧＨ＝２ＯＧ，ＯＧ＝２ＦＧ，ＧＨ＝４ＦＧ，ＦＨ＝３ＦＧ）．

　さらに，フォイエルバッハの９点円が三角形の内接円と傍接円の各々に接する，９点円には他にも多くの特別な点が含まれているなど，三角形のような簡単な図形が無数に未知の性質を有することはまことに不思議なことです．

　　［参］前原潤，桑田孝泰「知っておきたい幾何の定理」共立出版

に９点が同一円周上の存在することのエレガントな証明が掲げられています．

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