京都大学の入試問題（２００６年）に

［Ｑ］ｔａｎ１°は有理数か？　無理数か？

という問題が出題されているそうである．

　　［参］吉田信夫「極限的数論入門」現代数学社

によるとｔａｎ３０°＝１／√３（無理数）なので，ｔａｎ１°は無理数であるとのことであるが，もう少し考えてみよう．

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　背理法で証明する，正接の加法定理

　　ｔａｎ（ｘ＋ｙ）＝（ｔａｎｘ＋ｔａｎｙ）／（１−ｔａｎｘ・ｔａｎｙ）

において，ｔａｎｘとｔａｎｙの両者が有理数ならばｔａｎ（ｘ＋ｙ）も有理数である．

　ｔａｎ１°が有理数と仮定すると，ｔａｎ２°も有理数である．ｔａｎ２°が有理数と仮定すると，ｔａｎ３°も有理数である．この操作を繰り返すとｔａｎ３０°も有理数となるが，実際は無理数であるから矛盾する．（もちろん，ｔａｎ６０°も有理数となるから矛盾であるとしてもよい．）

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［Ｑ］ｔａｎ１°は代数的数か？　超越数か？

　　［参］吉田信夫「極限的数論入門」現代数学社

によると，ｔａｎ４５°＝１なので，同様の論法によりｔａｎ１°は高々４５次の代数的数である（少し考えてみてほしい）．

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