普段使っている三角定規には２種類ある．辺の長さの比１：１：√２と１：√３：２であるが，角度は３０°，４５°，６０°と何かと都合がよい．それに対して，ピタゴラス三角形は辺の長さは整数であるが，角度は簡単にはならない．

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【１】ピタゴラス三角形

　直角三角形では斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です．

　ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として

　　ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）

が形も簡単で広く用いられています．

［Ｑ］不定方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，（ｘ，ｙ，ｚ）＝１はｘ，ｙのどちらか一方が２ｕｖ，他方がｕ^2−ｖ^2の形で，ｚがｕ^2＋ｖ^2の形をしているとき，そのときに限り満足されることを証明せよ．ただし，（ｕ，ｖ）＝１でｕｖは偶数．

［Ａ］ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2が成立したとすれば，ｘ，ｙのいずれかは偶数でなければならない．ｘがそうだとすれば

　　（ｘ／２）^2＝（ｚ＋ｘ）／２・（ｚ−ｘ）／２

しかも（（ｚ＋ｘ）／２，（ｚ−ｘ）／２）＝１．ゆえに，

　　ｘ／２＝ｕｖ，（ｚ＋ｘ）／２＝ｕ^2，（ｚ−ｘ）／２＝ｖ^2

となる整数ｕ，ｖが存在する．

　すべてのピタゴラス数が，

　　ｘ＝２ｕｖ，ｙ＝ｕ^2−ｖ^2，ｚ＝ｕ^2＋ｖ^2

のように表されることは，ｘ^2＋ｙ^2＝１上のすべての有理点が

　　（２ｔ／（１＋ｔ^2），（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2））

であることによっている．

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【２】θ／πは無理数である

　ピタゴラス三角形のひとつの鋭角をθをする．θ／πは無理数である．

（証）

　　ａ＝（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝（ｍ^2＋ｎ^2）

θ／πが有理数だとして矛盾を導くことにするが，回転行列Ｒは

　　Ｒ＝［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］＝［ａ／ｃ，−ｂ／ｃ］

　　　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］　［ｂ／ｃ，　ａ／ｃ］

　点Ｐ＝（ｃ^n，０）とおいて，次のｎ点

　　Ｐ，ρ（Ｐ），ρ^2（Ｐ），・・・，ρ^n-1（Ｐ）

を考えると，これらはすべて異なる格子点である．ところが，Ｚ^2で格子正ｎ角形は正方形に限る→コラム「格子点についての問題（その２）」参照．θ＜π／２であるから，これは不可能である．

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