【４】正二十面体の場合

［Ｑ］角δがｔａｎδ＝−２√５／５を満たすならば，δはπの有理数倍ではない．

［Ａ］

　　ｔａｎδ＝−２√５／５

　　ｔａｎ２δ＝−４√５

　　ｔａｎ３δ＝２２√５／３５

　　ｔａｎ４δ＝８√５／７９

　　ｔａｎｎδ＝ａ√５／ｂ

ならば

　　ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（５ａ−２ｂ）√５／（１０ａ＋５ｂ）

　　Ｚ20＝−√５／３＋２／３ｉ

　　ｚ＋√５／３＝−ｉ２／３

より，Ｚ20は２次方程式３ｚ^2＋２√５ｚ＋３＝０の解である．

　そこで，この分数の（ａ，ｂ）＝（−２，５）から出発して，（分子，分母）＝（５ａ−２ｂ，１０ａ＋５ｂ）を（ｍｏｄ　３）でみると

　　（−２，５）＝（１，２）

　　（−２０，５）＝（１，２）

　　（−１１０，−１７５）＝（１，２）

　　（−２００，−１９７５）＝（１，２）

の繰り返しになることがわかる．したがって，ａ，ｂのどちらも０にはなり得ず，ｔａｎｎδ≠０，∞となる．

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