（その４）では，加法公式

　　ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ｔａｎδ＋ｔａｎｎδ）／（１−ｔａｎδｔａｎｎδ）

を用いて，立方体を除く正多面体の二面角δ／πの無理数性を証明した

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【２】正八面体の場合

［Ｑ］角δがｔａｎδ＝−２√２を満たすならば，δはπの有理数倍ではない．

［Ａ］

　　ｔａｎδ＝−２√２

　　ｔａｎ２δ＝４√２／７

　　ｔａｎ３δ＝−１０√２／２３

　　ｔａｎ４δ＝５６√２／１７

　　ｔａｎｎδ＝ａ√２／ｂ

ならば

　　ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ａ−２ｂ）√２／（ｂ＋４ａ）

　　Ｚ8＝ｃｏｓδ＋ｉｓｉｎδ＝−１／３＋ｉ√８／３

　　ｚ＋１／３＝ｉ√８／３

より，Ｚ8は２次方程式３ｚ^2＋２ｚ＋３＝０の解である．

　そこで，この分数の（ａ，ｂ）＝（−２，１）から出発して，（分子，分母）＝（ａ−２ｂ，ｂ＋４ａ）を（ｍｏｄ　３）でみると

　　（−２，１）＝（１，１）

　　（−４，−７）＝（２，２）

　　（１０，−２３）＝（１，１）

　　（５６，１７）＝（２，２）

の２ステップの繰り返しになることがわかる．したがって，ａ，ｂのどちらも０にはなり得ず，ｔａｎｎδ≠０，∞となる．

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