フィボナッチ数のパズルでは

Fn-1Fn-Fn-2Fn+1=(-1)^n

例えば、

21・34＝13・55-1，

34・55＝21・89+1がよく用いられる。これを使った銀行パズルを紹介したい。

1日目にx1ドル銀行預金する

2日目にx2ドル銀行預金する

3日目にx3=x1+x2ドル銀行預金する

4日目にx4=x2+x3ドル銀行預金する

・・・・・・・・・・・・・・・・

n日目にxnドル銀行預金する

xn→xn-1→・・・→x1,x2を求めよ。

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xnはフィボナッチ数の線形結合

xn=aFn+k+bFn+mとして表すことができる。

F0=0,F-1=F1=1を用いると、初期条件は

xn=x1Fn-2+x2Fn-1を満たす。

ここで

Fn-1Fn-Fn-2Fn+1=(-1)^n

Fn-3Fn-2-Fn-4Fn-1=(-1)^n

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x1Fn-2 +x2Fn-1=xn

Fn-3Fn-2-Fn-4Fn-1=(-1)^n

連立方程式を解くと、

Fn-2= (-xnFn-4-x2(-1)^n/(-x1Fn-4-x2Fn-3)

Fn-1= (-(-1)^nx1-xnFn-3)/(-x1Fn-4-x2Fn-3)

かえって面倒になる。

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x1(-1)^nFn-2+x2(-1)^nFn-1=xn(-1)^n

xnFn-3Fn-2-xnFn-4Fn-1=xn(-1)^n

より

x1=(-1)^nxnFn-3

x2=-(-1)^nxnFn-4

が求まる。

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