フィボナッチ数のパズルでは

Fn-1Fn-Fn-2Fn+1=(-1)^n

例えば、

21・34＝13・55-1，

34・55＝21・89+1がよく用いられる。これを使った銀行パズルを紹介したい。

1日目にx1ドル銀行預金する

2日目にx2ドル銀行預金する

3日目にx3=x1+x2ドル銀行預金する

4日目にx4=x2+x3ドル銀行預金する

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n日目にxnドル銀行預金する

xn→xn-1→・・・→x1,x2を求めよ。

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xnはフィボナッチ数の線形結合

xn=aFn+k+bFn+mとして表すことができる。

F0=0,F-1=F1=1を用いると、初期条件は

xn=x1Fn-2+x2Fn-1を満たす。

ここで

Fn-1Fn-Fn-2Fn+1=(-1)^n

Fn-3Fn-2-Fn-4Fn-1=(-1)^n

連立方程式を解いて、

x1=(-1)^nxnFn-3

x2=-(-1)^nxnFn-4

が求まる。

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しかし、これによると1日目あるいは2日目の預金額は負になってしまう。

そこで、xn=x1Fn-2+x2Fn-1より、x2からFn-2の倍数を引いて、x1ni

Fn-1の倍数を加えてもよいことに気づく。したがって、一般解は

x1=(-1)^nxnFn-3+mFn-1

x2=-(-1)^nxnFn-4-mFn-2

m=[-(-1)^nxnFn-4/Fn-2]

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x20＝1000000の場合、m=-381922,x1=154,x2=144が求まる。

x21＝1000000の場合、m=-381922,x1=-10,x2=154となるが、これはNGである。

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1,1,2,3,5,8,13,21,34,55

x10=1000の場合

m=[-8/21・1000]=[-380.9]=-381

x1=1000・13-381・34=46

x2=-1000・8+381・21=1

x3=47

x4=48

x5=95

x6=143

x7=238

x8=381

x9=619

x10=1000

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1,1,2,3,5,8,13,21,34,55、89

x11=1000の場合

m=[-13/34・1000]=[-382.3]=-383

x1=1000・21-383・55=-65・・・NG

x2=-1000・13+383・34=22

x3=-43

x4=-21

x5=-64

x6=-85

x7=-149

x8=-234

x9=-383

x10=-617

x11=-1000

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