正多面体の二面角δは

　　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３

　　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３

　　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３

　　｛４，３｝→ｃｏｓδ＝０

　　｛５，３｝→ｃｏｓδ＝−√５／５

と計算される．

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メッサーの式

sin(δ/2)=cos(π/q)/sin(π/p)

{(1-cosδ)/2}^1/2=cos(π/q)/sin(π/p)

と比較してみたい.

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　　｛３，３｝→1/3＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝１／３

　　｛３，４｝→2/3＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝−１／３

　　｛３，５｝→τ^2/3＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝−√５／３

　　｛４，３｝→1/2＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝０

　　｛５，３｝→4/（10-2√5）＝(1-cosδ)/2→ｃｏｓδ＝−√５／５

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半稜線に対する中心角φ

cosφ=cos(π/p)/sin(π/q)

ε=2φ

ε+双対多面体の二面角＝πが成り立つ

　　｛３，３｝→ε=2arccos1/√3＝arccos(-1/3)

　　｛３，４｝→ε=2arccos1/√2＝arccos0

　　｛３，５｝→ε=2arccos√（5＋√5）/10）＝arccos(√5/5）＝arctan2

　　｛４，３｝→ε=arccos(1/3)

　　｛５，３｝→ε=2arccos(τ^2/√3）＝arcsin（2/3）

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δ＝2arccos(tanφcotπ/p)=arccos(2(tanφcotπ/p)^2-1)は成り立つだろうか？

cosδ＝2(tanφcotπ/p)^2-1

（1+cosδ)/2=(tanφcotπ/p)^2

（1+cosδ)/2・(tanπ/p)^2=(tanφ)^2

tanφ＝tan(ε/2)

(tanφ)^2＝(tan(ε/2))^2=(1-cosε）/(1+cosε）

（1+cosδ)/2・(tanπ/p)^2=(1-cosε）/(1+cosε）

　　｛３，３｝→左辺=2/3・3＝2,右辺=2

　　｛３，４｝→左辺=1/3・3＝1、右辺==1

　　｛３，５｝→左辺＝（1−√５／３）/2・3＝(3-√5)/2,右辺＝（1/√5-1)/（1/√5+1)=左辺

　　｛４，３｝→左辺＝1/2、右辺=1/2

　　｛５，３｝→左辺＝(7-3√5)/2、右辺（1-√5/3)/（1+√5/3)=右辺

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あらゆる一様多面体において、

半稜線に対する中心角φ

頂点図形の外接円の半径Rとすると

双対図形の二面角θ

R=cosφ=sin(θ/2)

2φ+θ=π

が成り立つ。

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