球面ｎ角形の辺の長さをαとする。

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正ｎ角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはa・2sin{(n-2)π/2n}=a・2cos(π/n)です

正ｎ角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝a・2cos(π/n)=2cos(π/n)sin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（2cos(π/n)sin(α/2)）=arccos｛1-2(2cos(π/n)sin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2cosω

1-2(2cos(π/n)sin(α/2))^2=(cosα)^2+(sinα）^2cosω

1-2(2cos(π/n)sin(α/2))^2=(1-2(sin(α/2))^2)^2+4(sinα/2）^2(cosα/2）^2cosω

1-2(2cos(π/n)sin(α/2))^2=(1-4(sin(α/2))^2+4(sin(α/2))^4+4(sinα/2）^2(cosα/2）^2cosω

-2(2cos(π/n)sin(α/2))^2=-4(sin(α/2))^2+4(sin(α/2))^4+4(sinα/2）^2(cosα/2）^2cosω

-2(2cos(π/n))^2=-4+4(sin(α/2))^2+4(cosα/2）^2cosω

-4(cos(2π/n)+1)=-4+4(sin(α/2))^2+4(cosα/2）^2cosω

-(cos(2π/n))=(sin(α/2))^2+(cosα/2）^2cosω

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論文と似た式にはなったが、一致しない

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パラメトライズの仕方が異なっている。ωとαを交換してcosωを求めたみたい。

-(cos(2π/n))=(sin(ω/2))^2+(cosω/2）^2cosα

-(cos(2π/n))=1-(cos(ω/2))^2+(cosω/2）^2cosα

-(cos(2π/n))=1-(cos(ω/2))^2+(cosω/2）^2cosα

1+(cos(2π/n))=(cos(ω/2))^2-(cosω/2）^2cosα

1+(cos(2π/n))=(cos(ω/2))^2（1-cosα）

1+(cos(2π/n))=(1+cosω)(sinα/2)^2

1+(cos(2π/n))=(1+cosω)(sinα/2)^2

1-(sinα/2)^2+(cos(2π/n))=(cosω)(sinα/2)^2

(cosα/2)^2+(cos(2π/n))=(cosω)(sinα/2)^2

(cosω)={(cosα/2)^2+(cos(2π/n))}/(sinα/2)^2

これで論文と一致した

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２つの式

(cosω)={(cosα/2)^2+(cos(2π/n))}/(sinα/2)^2

(cosα)=-{(sinω/2)^2+(cos(2π/n))}/(cosω/2)^2

は１種の反転公式になっていて重要と考えられる。

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