【４】相補的・排他的３数列の非存在

　１／α＋１／β＝１→β＝α／（α−１）より，αとβは両方とも有理数か両方とも無理数のどちらかですか，両方とも無理数のとき，整数を分割するわけです．すなわち，実数αのスペクトルを，整数の集合

　　Ｓｐｅｃ（α）＝｛［α］，［２α］，［３α］，・・・｝α

で定義すると，α，βが無理数で１／α＋１／β＝１を満たすとき，そのときに限り，Ｓｐｅｃ（α）とＳｐｅｃ（β）は整数を分割するのですが，それでは，

（Ｑ）Ｓｐｅｃ（α），Ｓｐｅｃ（β），Ｓｐｅｃ（γ）が整数を分割するような実数α，β，γは存在するでしょうか？

（Ａ）不可能（存在しない）．

　レイリーの定理は，

　　１／α＋１／β＋１／γ＝１

かつ

　　｛（ｎ＋１）／α｝＋｛（ｎ＋１）／β｝＋｛（ｎ＋１）／γ｝＝１

のとき，そのときに限り３分割が起こることを示している．

　しかし，ワイルの一様分布定理から，δが無理数のとき，｛（ｎ＋１）／δ｝の平均値は１／２である→矛盾．δが有理数（ｍ／ｎ）ならば，平均値は３／２−１／（２ｎ）→矛盾．δが整数の場合もうまくいかない．すなわち，存在しないことを示している．

相補的・排他的数列となるのは，

［１］２系列

［２］１／α1＋１／α2＝１

［３］α1は無理数

の場合に限られるのである．

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