■三角形の分割(その4)
三角形=1次の三角形
ミツウロコ=2次の三角形
とする。2次の三角形は5個の三角形に細分される。
4つの三角形+一番外側の三角形
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3次の三角形は13個の三角形に細分される。
4次の三角形は27個の三角形に細分される。
5次の三角形は48個の三角形に細分される。
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n次の三角形は?
1
2次の三角形の中には1次の上三角形3個、1次の下三角形1個=4+1
3次の三角形の中には2次の上三角形3個、下三角形0個、1次の上三角形6個、下三角形3個=12+1
4次の三角形の中には3次の上三角形3個、下三角形が0個
2次の上三角形6個、下三角形1個、1次の上三角形10個、下三角形6個=26+1
5次の三角形の中には4次の上三角形3個、下三角形が0個
3次の上三角形6個、下三角形0個、2次の上三角形10個、下三角形3個、1次の上三角形15個、下三角形10個=47+1
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1次は1+3+・・・+(2n-1)=n^2
2次は(n)(n-1)/2+(n-2)(n-3)/2 (4次から出現)
3次は(n-1)(n-2)/2+(n-4)(n-5)/2 (6次から出現)
4次は(n-2)(n-3)/2+(n-6)(n-7)/2 (8次から出現)
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1次:1
2次:4+1=5
3次:9+3+1=13
4次:16+6+3+1+1=27
5次:25+10+6+3+1+3=48
6次:36+15+10+6+3+1+6+1=78
7次:49+21+15+10+6+3+1+10+3=118
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8次:64+28+21+15+10+6+3+1+15+6+1=170と思われる
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1次は(1+2+3+・・・+n)+(1+2+3+・・・+(n-1))=n(n+1)/2+n(n-1)/2=n^2
(n+1)n/2+n(n-1)/2 (2次から出現)
2次は(n)(n-1)/2+(n-2)(n-3)/2 (4次から出現)
3次は(n-1)(n-2)/2+(n-4)(n-5)/2 (6次から出現)
4次は(n-2)(n-3)/2+(n-6)(n-7)/2 (8次から出現)
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1次:1+(0)
2次:(3+1)+(1)=5
3次:(6+3+1)+(3)=13
4次:(10+6+3+1)+(6+1)=27
5次:(15+10+6+3+1)+(10+3)=48
6次:(21+15+10+6+3+1)+(15+6+1)=78
7次:(28+21+15+10+6+3+1)+(21+10+3)=118
8次:(36+28+21+15+10+6+3+1)+(28+15+6+1)=170
これで計算しやすくなった。
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Σj(j+1)/2,j=[1,n]
偶数次元(2・1/2)+(4・3/2)+(6・5/2)+・・・=Σ(2j)(2j-1)/2,j=[1,n/2]
奇数次元(1・0/2)+(3・2/2)+(5・4/2)+(7・6/2)+・・・=Σ(2j-1)(2j-2)/2,j=[1,(n+1)/2]
Σj(j+1)/2=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4=n(n+1)(2n+4)/12
Σ(2j)(2j-1)/2=2Σj^2-Σj=n(n/2+1)(n+1)/6-n(n/2+1)/4=n(n/2+1)(2n+2-3)/12
Σ(2j-1)(2j-2)/2=2Σj^2-3Σj+Σ1=(n+1)((n+1)/2+1)(n+2)/6-3(n+1)/2{(n+1)/2+1}/2+(n+1)/2=(n+1)(2n^2+n-3)/24
偶数次元:n(n+2)(2n+1)/8・・・OK
奇数次元:n(n+1)(2n+4)/12+(n+1)(2n^2+n-3)/24=(n+1)(2n^2+3n-1)/8=(2n^3+5n^2+2n-1)/8={n(n+2)(2n+1)-1}/8・・・OK
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