ヘロンの公式とは，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2－ａ^4－ｂ^4－ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）／１６

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Δ^2

＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2－ａ^4－ｂ^4－ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）／１６

＝２Δ／ｒ・２ａｃｏｓＡ・２ｂｃｏｓＢ・２ｃｃｏｓＣ／１６

Δ＝ａｂｃ／ｒ・ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣ

ａｂｃ＝４Ｒ△

ｒ／Ｒ＝４ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣ

　ここで困るのはｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣが正とは限らないことであるが，正と仮定してこのまま続ける．

　　２ｃｏｓＢｃｏｓＣ＝ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）－ｃｏｓＡ

　　ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ

　＝１／２・ｃｏｓＡ（ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）－ｃｏｓＡ）

　≦１／２・ｃｏｓＡ（１－ｃｏｓＡ）≦１／８

ｒ／Ｒ＝４ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣ≦１／２→Ｒ≧２ｒ

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