ドーマン・ルーク法においては

外接球の半径

R=abc/4Δ=abc/4{ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）}^1/2

R={(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}^1/2/4{（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）}^1/2

が使われている。

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d=bのときは等脚台形

R={(ac+b^2)b(a+c)b(a+c)}^1/2/4{（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−b）}^1/2

=b(a+c){(ac+b^2)}^1/2/4(s-b){（ｓ−ａ）（ｓ−ｃ））}^1/2

a+2b+c=2s

2s-2b=(a+c)

R=b(a+c){(ac+b^2)}^1/2/2(a+c){（ｓ−ａ）（ｓ−ｃ））}^1/2

=b{(ac+b^2)}^1/2/2{（ｓ−ａ）（ｓ−ｃ））}^1/2

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アルキメデス立体は外接球をもち、その双対は内接球をもつ。

中心から多面体の各辺を投影すると、球面上の測地線を描くことになる。

辺の中点は中接球上に載っているので、アルキメデス立体とその双対は中接球を共有するように構成することができる。

この方法がドーマン・ルーク法である。

ある頂点につながる辺の中点を結ぶ頂点図形を描き、この頂点図形に円を外接させる。この円は中接球上の小円となる。

双対多面体は小円に接する辺により構成されるのである。

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アルキメデス立体の頂点図形の外接球の半径R

アルキメデス立体の半稜に対する中心角φ

アルキメデス双対の一定の二面角θとすると

R=cosφ=sin(θ/2)

2φ+θ=π

が成り立つ。

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