■三角形の心(その109)

【1】問題

 三角形ABCの各辺を1:λの比に順次内分した点P,Q,Rとし,AP,BQ,CRの2本ずつの交点が作る三角形LMNを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする.正三角形の縮小三角形は正三角形である.

  λ=CP/PB=AQ/QC=BR/RA

[Q]縮小三角形がもとの三角形の面積の1/7になるλを求めよ

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(λ-1)^2/(λ^2+λ+1)=1/7

7λ^2-14λ+7=λ^2+λ+1

6λ^2-15λ+6=0

λ=(15±√81)/12

λ=2,1/2

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もし、1辺の長さ1の正三角形ならば

AP=BQ=CR=x/(1+x)

λ=1/2のとき、

AP=BQ=CR=1/3

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