【１】三角形の面積を7等分するラウスの定理

［Ｑ］与えられた三角形の各辺を２：１に内分する点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の１／７であることを示せ．

［Ａ］３×３の格子を考える．もとの三角形の頂点を（１，０），（３，１），（０，３）に移す線形変換をφとする．線形変換で面積は変化するが面積比は変わらない．このとき，中の三角形は（１，１），（２，１），（１，２）に移される．ピックの公式により面積はそれぞれ７／２，１／２，従って面積比は７：１である．

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［１］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3−１）^2／（λ^2＋λ＋１）^3＝（λ−１）^3／（λ^3−１）

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／７．

　λ＝μ＝ν＝１の場合，Ｍ＝０

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【２】ピックの公式

ミンコフスキーの格子点定理を用いて，ピックは彼の興味深い定理を証明しました．ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものです．

　　Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１

　　　Ａ：格子多角形の面積

　　　Ｉ：内部の点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数

すなわち，格子点平面の折れ線で囲まれた面積は（凸であれ凹であれ）格子点の数で表せるという「格子の幾何学」の美しい公式です．

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