【１】問題

　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｐ，Ｑ，Ｒとし，ＡＰ，ＢＱ，ＣＲの２本ずつの交点が作る三角形ＬＭＮを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

　　λ＝ＣＰ／ＰＢ＝ＡＱ／ＱＣ＝ＢＲ／ＲＡ

［Ｑ］正三角形の縮小三角形は正三角形である．ＡＰ，ＢＱ，ＣＲの２本ずつの交点が作るＬ，Ｍ，Ｎの内分比を１：κとすると

　　κ＝ＱＬ／ＬＢ＝λ^2／（１＋λ）

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【２】証明

　相似比を使って解ける．

　　ＢＱ^2＝１^2＋１／（１＋λ）^2−２・１・１／（１＋λ）ｃｏｓ６０°＝１−１／（１＋λ）＋１／（１＋λ）^2

　△ＢＣＭと△ＢＰＤは相似であるから，

　　ＢＬ＝１／（１＋λ）／ＢＱ

　　ＭＥ＝１／（１＋λ）^2／ＢＱ

　　ＰＭ＝ＢＱ−１／（１＋λ）／ＢＱ−１／（１＋λ）^2／ＢＱ

　　ＥＬ＝ＢＱ−１／（１＋λ）／ＢＱ

　　ＱＬ／ＬＢ＝（１＋λ）ＢＱ^2−１＝λ^2／（１＋λ）

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1辺1+ｒの正三角形を考える

B(0,0)

P(1,0)

C(1+r,0)

A((1+r)/2,(1+r)√3/2）

Q((1+r)-(1+r)/2・1/(1+r),(1+r)√3/2)・1/(1+r))=((1+2r)/2,√3/2)

R((1+r)/2・r/(1+r),(1+r)√3/2・r/(1+r)）=(r/2,r√3/2)

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LはAP とBQの交点

AP

y=m(x-1)

m=((1+r)√3/2)/((1+r)/2-1)

BQ

y=(√3/2)/(1+2r)/2・x

x=(1+r)(1+2r)/2(1+r+r^2)=a

y=a√3/(1+2r)＝a△

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MはBQとCRの交点

BQ

y=(√3/2)/(1+2r)/2・x

CR

y=m(x-1-r)

m=r√3/2)/(r/2-1-r)

x=r(1+r)(1+2r)/2(1+r+r^2)=ra

y=ra√3/(1+2r)=ra△

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Q((1+r)-(1+r)/2・1/(1+r),(1+r)√3/2)・1/(1+r))=((1+2r)/2,√3/2)

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BL^2=a^2+(a△)^2=(1+r)^2/(1+r+r^2)

LQ^2={(1+2r)/2-a}^2+{(√3)/2-a△}^2

=a^2+(a△)^2+r^2-r-1={(1+r)^2+r^4-(r+1)^2}/(1+r+r^2)=r^4/(1+r+r^2)

LQ/BL=r^2/(1+r)

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【３】一般化

　正三角形の縮小三角形は正三角形であるから簡単に解けたが，一般の三角形の場合には成り立たないのだろうか？

　たとえば，λ＝１（中線）のとき，ＱＬ／ＬＢ＝１／２（重心）というわけである．これが成り立つとすると，縮小三角形の問題

［Ｑ］縮小三角形がもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

は（重心座標を用いずとも）ベクトルで解けると思われる．

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