■x^1/2に収束する分数列(その20)

 ここでは,数列

  an=(1+√2)^n+(1−√2)^n

  a0=2,a1=2,a3=6

を考えます.

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[Q]数列{an}の漸化式は?

[A]an+1=2an+an-1

[Q][(1+√2)^n]=n  (mod2)を証明せよ.

[A]anが偶数で,−1<(1−√2)<0より説明できる.

[Q]α=(p+√q)/2,p,qは正整数で,

  [α^n]=n  (mod2)

を満たすp,qをみつけよ.

[A]b0=2,b1=p

   bn={(p+√q)/2}^n+{(p−√q)/2}^n

が奇数で,−1<(p−√q)/2<0

  bn=pbn-1+1/4・(qーp^2)bn-2

よりp=3,q=17がひとつの解となる.

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