x=r(1+r)(1+2r)/2(1+r+r^2)=ra

y=ra√3/(1+2r)=ra△

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正２０面体ではr=φ

(tanφ)^2=2-φ=1/τ^2

(tanφ)=1/τ

これは半稜に対する中心角で間違いない。

ねじれ立方体ではR=1.3436,r=1.839

ねじれ12面体ではR=2.1556,r=1.943は

(tanφ)^2=1/(4R^2-1)=2-r

を満たす。

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原正三角形面多面体において半稜に対する中心角ψは

正四面体：1/2・arccos(-1/3)=1/2・(π+arctan(-√8))→1/2・(π+π+2arctan(-√2))＝arctan(√2))

正八面体：π/4→tanψ=1

正20面体：arctan(1/τ)→tanψ=1/τ

A(r+1-a,a△cosδ/2,-a△sinδ/2)

B(a,a△cosδ/2,a△sinδ/2)

C(ra,ra△cosδ/2,ra△sinδ/2)

と回転させて、原正三角形面多面体の中心を求めると

O((1+r)/2,(1+r)/(2tanψ）,0)

BCの中点Mは

M((1+r)a/2,(1+r)/2・a△cosδ/2,(1+r)/2・a△sinδ/2

OM^2=(1+r)^2/4・{(a-1)^2+(a△cosδ/2-1/tanψ)^2+(a△sinδ/2)^2}

=(1+r)^2/4・{(a-1)^2+(a△)^2-2a△cosδ/2・1/tanψ+(1/tanψ)^2}

BM^2=(-1+r)^2/4・{a^2+(a△cosδ/2)^2+(a△sinδ/2)^2}

=(-1+r)^2/4・{a^2+(a△)^2}

(tanφ)^2=(BM/OM)^2

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P=-2a△cosδ/2・1/tanψ+(1/tanψ)^2

=-2a△{(1+cosδ)/2}^1/2・1/tanψ+(1/tanψ)^2

正多面体の二面角δは

　　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３

　　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３

　　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３

｛３，３｝→P=-2a△/√3+1/２

｛３，４｝→P=-2a△/√3+１

｛３，５｝→P=-2a△/√3+τ^2

a-1=(r-1)/2(1+r+r^2)

2a△/√3=(r+1)/(1+r+r^2)

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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｛３，３｝；ｒ＝τ

a-1=(r-1)/4(1+r）

2a△/√3=(r+1)/(1+r+r^2)＝1/2

a△=√3(1+r)/2(1+r+r^2)=√3/4

a=(1+r)(1+2r)/2(1+r+r^2)=(1+2r)/4

OM^2=(1+r)^2/4・{(a-1)^2+(a△)^2}

=(1+r)^2/4・{(r-1)^2/16(1+r)^2+3/16}=(1+r+r^2)/16

BM^2=(-1+r)^2/4・{a^2+(a△)^2}=(r-1)^2/4・{(1+2r)^2/16+3/16}=(1+r+r^2)/16・(r-1)^2

(tanφ)^2=(r-1)^2=r^2-2r+1=2-r (OK)

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