球面上では3次方程式となったが、

ねじれ１２面体、ねじれ立方体などでも同様の3次方程式になるはずである。

どうやって計算するのか？

この問題はもっと早く解決しておくべき問題であった。

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　正多面体の二面角δは

　　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３

　　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３

　　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３

　　｛４，３｝→ｃｏｓδ＝０

　　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／５

と計算される．

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　４次元正多胞体の二胞角δは

　｛３，３，３｝→ｃｏｓδ＝１／４　　（δ＝７５．５°）

　｛３，３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／２　　（δ＝１２０°）

　｛３，３，５｝→ｃｏｓδ＝−（１＋３√５）／８　　（δ＝１６４．５°）

　｛３，４，３｝→ｃｏｓδ＝−１／２　　（δ＝１２０°）

　｛４，３，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

　｛５，３，３｝→ｃｏｓδ＝−（１＋√５）／４　　（δ＝１４４°）

である．

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ｃｏｓδ＝２(ｃｏｓδ/2)^2-1

　　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３→(ｃｏｓδ/2)^2＝2／３

　　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３→(ｃｏｓδ/2)^2＝１／３

　　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３→(ｃｏｓδ/2)^2＝（3-√5）／6　

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1辺1+ｒの正三角形を考える

B(0,0)

P(1,0)

C(1+r,0)

A((1+r)/2,(1+r)√3/2）

Q((1+r)-(1+r)/2・1/(1+r),(1+r)√3/2)・1/(1+r))=((1+2r)/2,√3/2)

R((1+r)/2・r/(1+r),(1+r)√3/2・r/(1+r)）=(r/2,r√3/2)

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LはAP とBQの交点

AP

y=m(x-1)

m=((1+r)√3/2)/((1+r)/2-1)

BQ

y=(√3/2)/(1+2r)/2・x

x=(1+r)(1+2r)/2(1+r+r^2)=a

y=a√3/(1+2r)

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MはBQとCRの交点

BQ

y=(√3/2)/(1+2r)/2・x

CR

y=m(x-1-r)

m=r√3/2)/(r/2-1-r)

x=r(1+r)(1+2r)/2(1+r+r^2)=ra

y=ra√3/(1+2r)

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