■大円弧多面体(その146)

[Q]三角形ABCの各辺を1:λの比に順次分けた点P,Q,Rが作る三角形PQRがもとの三角形と相似になることがあるか? あるとすればどのような場合か?

も(重心座標を用いずとも)ベクトルで解けると思われる.

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 a=BC,b=CA,c=ABとする.

  AP=(λc−b)/(1+λ)

  BQ=(λa−c)/(1+λ)

  CR=(λb−a)/(1+λ)

  PQ=AP+PC+CQ=(λc−b)/(1+λ)+λa/(1+λ)+b/(1+λ)=λ(c+a)/(1+λ)

  QR=BQ+QA+AR=(λa−c)/(1+λ)+λb/(1+λ)+c/(1+λ)=λ(a+b)/(1+λ)

  RP=CR+RB+BP=(λb−a)/(1+λ)+λc/(1+λ)+a/(1+λ)=λ(b+c)/(1+λ)

 これらのノルムがa,b,cに比例する.同じ向きに相似なとき,それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

  PQ:QR:RP=a:b:c

 裏返しに相似なとき,

  PQ:QR:RP=a:c:b

 a+b+c=0より,これらを解くと相似条件は元の三角形が正三角形であるが,またはλ=1(中点)のときに限る.もっとも直接初等幾何学的に考えた方が早いかもしれないが・・・.

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