［Ｑ］三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次分けた点Ｐ，Ｑ，Ｒが作る三角形ＰＱＲがもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

も（重心座標を用いずとも）ベクトルで解けると思われる．

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　ａ＝ＢＣ，ｂ＝ＣＡ，ｃ＝ＡＢとする．

　　ＡＰ＝（λｃ−ｂ）／（１＋λ）

　　ＢＱ＝（λａ−ｃ）／（１＋λ）

　　ＣＲ＝（λｂ−ａ）／（１＋λ）

　　ＰＱ＝ＡＰ＋ＰＣ＋ＣＱ＝（λｃ−ｂ）／（１＋λ）＋λａ／（１＋λ）＋ｂ／（１＋λ）＝λ（ｃ＋ａ）／（１＋λ）

　　ＱＲ＝ＢＱ＋ＱＡ＋ＡＲ＝（λａ−ｃ）／（１＋λ）＋λｂ／（１＋λ）＋ｃ／（１＋λ）＝λ（ａ＋ｂ）／（１＋λ）

　　ＲＰ＝ＣＲ＋ＲＢ＋ＢＰ＝（λｂ−ａ）／（１＋λ）＋λｃ／（１＋λ）＋ａ／（１＋λ）＝λ（ｂ＋ｃ）／（１＋λ）

　これらのノルムがａ，ｂ，ｃに比例する．同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

　　ＰＱ：ＱＲ：ＲＰ＝ａ：ｂ：ｃ

　裏返しに相似なとき，

　　ＰＱ：ＱＲ：ＲＰ＝ａ：ｃ：ｂ

　ａ＋ｂ＋ｃ＝０より，これらを解くと相似条件は元の三角形が正三角形であるが，またはλ＝１（中点）のときに限る．もっとも直接初等幾何学的に考えた方が早いかもしれないが・・・．

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