■大円弧多面体(その144)

【1】問題

 三角形ABCの各辺を1:λの比に順次内分した点P,Q,Rとし,AP,BQ,CRの2本ずつの交点が作る三角形LMNを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする.正三角形の縮小三角形は正三角形である.

  λ=CP/PB=AQ/QC=BR/RA

[Q]正三角形の縮小三角形は正三角形である.AP,BQ,CRの2本ずつの交点が作るL,M,Nの内分比を1:κとすると

  κ=QL/LB=λ^2/(1+λ)

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【2】証明

 相似比を使って解ける.

  BQ^2=1^2+1/(1+λ)^2−2・1・1/(1+λ)cos60°=1−1/(1+λ)+1/(1+λ)^2

 △BCMと△BPDは相似であるから,

  BL=1/(1+λ)/BQ

  ME=1/(1+λ)^2/BQ

  PM=BQ−1/(1+λ)/BQ−1/(1+λ)^2/BQ

  EL=BQ−1/(1+λ)/BQ

  QL/LB=(1+λ)BQ^2−1=λ^2/(1+λ)

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【3】一般化

 正三角形の縮小三角形は正三角形であるから簡単に解けたが,一般の三角形の場合には成り立たないのだろうか?

 たとえば,λ=1(中線)のとき,QL/LB=1/2(重心)というわけである.これが成り立つとすると,縮小三角形の問題

[Q]縮小三角形がもとの三角形と相似になることがあるか? あるとすればどのような場合か?

は(重心座標を用いずとも)ベクトルで解けると思われる.

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