まとめa:4a

球面五角形の辺の長さをαとする。

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2cosω

ここで、α→4αに置き換える

cosβ=(cos4α)^2+(sin4α）^2cosω

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(4α/2)）=arccos｛1-2(φsin(2α))^2}

正三角形について、

ω’=π-ω

cosα=(cosα)^2+(sinα）^2cosω'

cosα=(cosα)^2-(sinα）^2cosω

cosω={(cosα)^2-cosα}/(sinα）^2

cosβ=(cos4α)^2+(sin4α）^2{(cosα)^2-cosα}/(sinα）^2

1-2φ^2(sin2α)^2=(cos4α)^2+4(cos2α)^2(sin2α）^2{(cosα)^2-cosα}/(sinα）^2

1-2φ^2(sin2α)^2=(cos4α)^2+4(cos2α)^2・4(cosα）^2{(cosα)^2-cosα}

1-2φ^2(sin2α)^2=(cos4α)^2+4(cos2α)^2・4(cosα）^2{(cosα)^2-cosα}

1-φ^2{1-(cos4α)}=(cos4α)^2+16(cos2α)^2(cosα）^2{(cosα)^2-cosα}

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する6次方程式になる。

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x=cosαとおくと,0＜x＜1

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(8x^4-8x^2+1)^2+16x^2{2x^2-1}^2{x^2-x}-1

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(64x^8+64x^4+1-128x^6-16x^2+16x^4)+16{4x^4-4x^2+1}{x^4-x^3}-1

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(64x^8+64x^4+1-128x^6-16x^2+16x^4)+16{4x^8-4x^6+x^4-4x^7+4x^5-x^3}-1

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(64x^8+64x^4-128x^6-16x^2+16x^4)+16{4x^8-4x^6+x^4-4x^7+4x^5-x^3}

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(64x^8-128x^6+80x^4-16x^2)+16{4x^8-4x^7-4x^6+4x^5+x^4-x^3}

φ^2・8x^2{x^2-1}=(128x^8-64x^7-192x^6+64x^5+96x^4-16x^3-16x^2)

φ^2・{x^2-1}=(16x^6-8x^5-24x^4+8x^3+12x^2-2x-2)

φ^2・{x^2-1}=(x-1)(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+4x+2)

φ^2・{x+1}=(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+4x+2)

これ以上簡単にならない

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5次式で

n=3のとき

{x+1}=(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+4x+2)

0=(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+3x+1)・・・（その115）と一致した

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n=3,a=108.669

n=4,a=69.8848

n=5,a=41.3976

x=cos(a/4)は

φ^2・{x+1}=(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+4x+2)を満たすことを確認した

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