まとめa:3a

誤りを発見

球面五角形の辺の長さをαとする。

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2cosω

ここで、α→3αに置き換える

cosβ=(cos3α)^2+(sin3α）^2cosω

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(3α/2)）=arccos｛1-2(φsin(3α/2))^2}

正三角形について、

ω’=π-ω

cosα=(cosα)^2+(sinα）^2cosω'

cosα=(cosα)^2-(sinα）^2cosω

cosω={(cosα)^2-cosα}/(sinα）^2

cosβ=(cos3α)^2+(sin3α）^2{(cosα)^2-cosα}/(sinα）^2

1-2φ^2(sin3α/2)^2=(cos3α)^2+{-4(sinα）^2+3}^2{(cosα)^2-cosα}

1-2φ^2(sin3α/2)^2=(cos3α)^2+{4(cosα）^2-1}^2{(cosα)^2-cosα}

1-φ^2{1-(cos3α)}=(cos3α)^2+{4(cosα）^2-1}^2{(cosα)^2-cosα}

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する6次方程式になる。

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x=cosαとおくと,0＜x＜1

-φ^2{1-4x^3+3x}=(4x^3-3x)^2+{4x^2-1}^2{x^2-x}-1

-φ^2{1-4x^3+3x}=(16x^6-24x^4+9x^2)+{16x^4-8x^2+1}{x^2-x}-1

-φ^2{1-4x^3+3x}=(16x^6-24x^4+9x^2)+{16x^6-8x^4+x^2}-{16x^5-8x^3+x}-1

-φ^2{1-4x^3+3x}=(32x^6-32x^4+10x^2)-{16x^5-8x^3+x}-1

-φ^2{1-4x^3+3x}=(32x^6-16x^5-32x^4+8x^3+10x^2-x-1)

φ^2{4x^3-3x-1}=(32x^6-16x^5-32x^4+8x^3+10x^2-x-1)

φ^2(x-1)(4x^2+4x+1)=(x-1)(32x^5+16x^4-16x^3-8x^2+2x+1)

φ^2(4x^2+4x+1)=(32x^5+16x^4-16x^3-8x^2+2x+1)

φ^2(2x+1)^2=(2x+1)(16x^4-8x^2+1)

φ^2(2x+1)=(4x^2-1)^2

φ^2(2x+1)=(2x+1)^2(2x-1)^2

φ^2=(2x+1)(2x-1)^2

(2cosπ/n)^2=(8x^3-4x^2-2x+1)

3次方程式、数値計算は必要である。

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N=3,a=108

N=4,a=69.3781

N=5,a=41.081

x=cos(a/3)は

(2cosπ/n)^2=(8x^3-4x^2-2x+1)を満たすはずである→OK

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