３等分でも4等分でも3次方程式となった。

1→1/2などチェビシェフ多項式が現れそうな雰囲気もある。

5等分では1/3が現れるかもしれない。

球面五角形の辺の長さをαとする。

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2cosω

正三角形について、4倍とすると

ω’=π-ω

cos4α=(cos4α)^2+(sin4α）^2cosω'

cos4α=(cos4α)^2-(sin4α）^2cosω

cosω={(cos4α)^2-cos4α}/(sin4α）^2

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2{(cos4α)^2-cos4α}/(sin4α）^2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+(sinα）^2{(cos4α)^2-cos4α}/16(sinα）＾2{2(cosα)^3-cosα}^2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+{(cos4α)^2-cos4α}/16{2(cosα)^3-cosα}^2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+{8(cosα)^4-8(cosα)^2+1}{8(cosα)^4-8(cosα)^2}/16{2(cosα)^3-cosα}^2

16{2(cosα)^3-cosα}^2{1-φ^2(1-cosα)}=(cosα)^2・16{2(cosα)^3-cosα}^2+{8(cosα)^4-8(cosα)^2+1}{8(cosα)^4-8(cosα)^2}

16{2(cosα)^2-1}^2{1-φ^2(1-cosα)}=16{2(cosα)^3-cosα}^2+{8(cosα)^4-8(cosα)^2+1}{8(cosα)^2-8}

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する6次方程式になる。

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x=cosαとおくと,0＜x＜1

16(4x^4-4x^2+1){1-φ^2(1-x)}=16(4x^6-4x^4+x^2)+8(8x^4-8x^2+1)(x^2-1)

16(4x^4-4x^2+1){1-φ^2(1-x)}=16(4x^6-4x^4+x^2)+8(8x^6-8x^4+x^2-8x^4+8x^2-1)

16(4x^4-4x^2+1){1-φ^2(1-x)}=16(4x^6-4x^4+x^2)+8(8x^6-16x^4+9x^2-1)

16(4x^4-4x^2+1){1-φ^2(1-x)}=128x^6-192x^4+88x^2-8

-16(4x^4-4x^2+1)φ^2(1-x)=128x^6-256x^4+152x^2-24=(x-1)(128x^5+128x^4-128x^3-128x^2+24x+24)

16(4x^4-4x^2+1)φ^2=(128x^5+128x^4-128x^3-128x^2+24x+24)

2(4x^4-4x^2+1)φ^2=(16x^5+16x^4-16x^3-16x^2+3x+3)

2(2x^2-1)^2φ^2=(16x^5+16x^4-16x^3-16x^2+3x+3)

x^2＝1/2を代入したとしても、これ以上簡単にならない

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5次式で

n=3のとき

2(4x^4-4x^2+1)=(16x^5+16x^4-16x^3-16x^2+3x+3)

0=(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+3x+1)

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n=3,a=27.1673

n=4,a=21.9406

n=5,a=15.0543

は

2(2x^2-1)^2φ^2=(16x^5+16x^4-16x^3-16x^2+3x+3)を満たすことを確認した

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