球面五角形の辺の長さをαとする。

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2cosω

正三角形について、3倍とすると

ω’=π-ω

cos3α=(cos3α)^2+(sin3α）^2cosω'

cos3α=(cos3α)^2-(sin32α）^2cosω

cosω={(cos3α)^2-cos3α}/(sin3α）^2

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2{(cos3α)^2-cos3α}/(sin3α）^2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+(sinα）^2{(cos3α)^2-cos3α}/(sinα）＾2{4(sinα)^2-3}^2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+{(cos3α)^2-cos3α}/{4(sinα)^2-3}^2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+{(cos3α)^2-cos3α}/{1-4(cosα)^2}^2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+{4(cosα)^3-3cosα}{4(cosα)^3-3cosα-1}/{1-4(cosα)^2}^2

{1-4(cosα)^2}^2{1-φ^2(1-cosα)}=(cosα)^2{1-4(cosα)^2}^2+{4(cosα)^3-3cosα}{4(cosα)^3-3cosα-1}

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する6次方程式になる。

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x=cosαとおくと,0＜x＜1

(1-8x^2+16x^4){1-φ^2(1-x)}=x^2(1-8x^2+16x^4)+{4x^3-3x}{4x^3-3x-1}

(1-8x^2+16x^4){1-φ^2(1-x)}=x^2(1-8x^2+16x^4)+16x^6-24x^4-4x^3+9x^2+3x

(1-8x^2+16x^4){1-φ^2(1-x)}=32x^6-32x^4-4x^3+10x^2+3x

-(1-8x^2+16x^4)φ^2(1-x)=32x^6-48x^4-4x^3+18x^2+3x-1

-(1-8x^2+16x^4)φ^2(1-x)=(x-1)(32x^5+32x^4-16x^3-20x^2-2x+1)

(1-8x^2+16x^4)φ^2=(32x^5+32x^4-16x^3-20x^2-2x+1)

(1-8x^2+16x^4)φ^2=(2x+1)(16x^4+8x^3-12x^2-4x+1)

(2x+1)^2(2x-1)^2φ^2=(2x+1)(16x^4+8x^3-12x^2-4x+1)

(2x+1)(2x-1)^2φ^2=(16x^4+8x^3-12x^2-4x+1)

(2x+1)(2x-1)^2φ^2=(2x+1)(8x^3-6x+1)

(2x-1)^2φ^2=(8x^3-6x+1)

(2x-1)^2(2cosπ/n)^2=(8x^3-6x+1)

3次方程式にはなったが、数値計算は必要である。

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n=3,α=36はこれを満たす

n=4,α=28.66はこれを満たす

n=5,α=19.31はこれを満たす

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n=3,α=36はこれを満たすが、正確なのだろうか？

(2x-1)^2=(8x^3-6x+1)

4x^2-4x+1=(8x^3-6x+1)

8x^3-4x^2-2x=0

4x^2-2x-1=0

x=τ/2を代入すると

τ^2-τ-1=0が成り立つので正確である。

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5α=π

3α=π-2α

cos3α=cos(π-2α)=-cos2α

4x^3-3x=-2x^2+1

4x^3+2x^2-3x-1=0

驚いたことに正確ではない？

x=τ/2を代入すると

τ^3/2+τ^2/2-3τ/2-1=0

τ^3+τ^2-3τ-2=0

2τ+1+τ+1-3τ-2=0・・・正確である

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4α=π-α

cos4α=cos(π-α)=-cosα

8x^4-8x^2+1=-x

8x^4-8x^2+x-1=0

驚いたことに正確ではない？

8x^4-8x^2+x-1=(2x-1)(4x^3+2x^2-3x-1)

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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