■大円弧多面体(その122)

球面五角形の辺の長さをαとする。

===================================

正五角形の1辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

  sin(α/2)=a

  sin(β/2)=aφ=φsin(α/2)

より,

  β=2arcsin(φsin(α/2))=arccos{1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα)^2cosω

ここで、α→4αに置き換える

cosβ=(cos4α)^2+(sin4α)^2cosω

  β=2arcsin(φsin(4α/2))=arccos{1-2(φsin(2α))^2}

正三角形について、

ω’=π-ω

cosα=(cosα)^2+(sinα)^2cosω'

cosα=(cosα)^2-(sinα)^2cosω

cosω={(cosα)^2-cosα}/(sinα)^2

cosβ=(cos4α)^2+(sin4α)^2{(cosα)^2-cosα}/(sinα)^2

1-2φ^2(sin2α)^2=(cos4α)^2+4(cos2α)^2(sin2α)^2{(cosα)^2-cosα}/(sinα)^2

1-2φ^2(sin2α)^2=(cos4α)^2+4(cos2α)^2・4(cosα)^2{(cosα)^2-cosα}

1-2φ^2(sin2α)^2=(cos4α)^2+4(cos2α)^2・4(cosα)^2{(cosα)^2-cosα}

1-φ^2{1-(cos4α)}=(cos4α)^2+16(cos2α)^2(cosα)^2{(cosα)^2-cosα}

===================================

これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する6次方程式になる。

===================================

x=cosαとおくと,0<x<1

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(8x^4-8x^2+1)^2+16x^2{2x^2-1}^2{x^2-x}-1

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(64x^8+64x^4+1-128x^6-16x^2+16x^4)+16{4x^4-4x^2+1}{x^4-x^3}-1

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(64x^8+64x^4+1-128x^6-16x^2+16x^4)+16{4x^8-4x^6+x^4-4x^7+4x^5-x^3}-1

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(64x^8+64x^4-128x^6-16x^2+16x^4)+16{4x^8-4x^6+x^4-4x^7+4x^5-x^3}

-φ^2{-8x^4+8x^2}=(64x^8-128x^6+80x^4-16x^2)+16{4x^8-4x^7-4x^6+4x^5+x^4-x^3}

φ^2・8x^2{x^2-1}=(128x^8-64x^7-192x^6+64x^5+96x^4-16x^3-16x^2)

φ^2・{x^2-1}=(16x^6-8x^5-24x^4+8x^3+12x^2-2x-2)

φ^2・{x^2-1}=(x-1)(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+4x+2)

φ^2・{x+1}=(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+4x+2)

これ以上簡単にならない

===================================

5次式で

n=3のとき

{x+1}=(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+4x+2)

0=(16x^5+8x^4-16x^3-8x^2+3x+1)・・・(その115)と一致した

===================================