■大円弧多面体(その110)

球面五角形の辺の長さをαとする。

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正五角形の1辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

  sin(α/2)=a

  sin(β/2)=aφ=φsin(α/2)

より,

  β=2arcsin(φsin(α/2))=arccos{1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα)^2cosω

ここで、α→3αに置き換える

cosβ=(cos3α)^2+(sin3α)^2cosω

  β=2arcsin(φsin(3α/2))=arccos{1-2(φsin(3α/2))^2}

正三角形について、

ω’=π-ω

cosα=(cosα)^2+(sinα)^2cosω'

cosα=(cosα)^2-(sinα)^2cosω

cosω={(cosα)^2-cosα}/(sinα)^2

cosβ=(cos3α)^2+(sin3α)^2{(cosα)^2-cosα}/(sinα)^2

1-2φ^2(sin3α/2)^2=(cos3α)^2+{-4(sinα)^2+3}{(cosα)^2-cosα}

1-2φ^2(sin3α/2)^2=(cos3α)^2+{4(cosα)^2-1}{(cosα)^2-cosα}

1-φ^2{1-(cos3α)}=(cos3α)^2+{4(cosα)^2-1}{(cosα)^2-cosα}

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する6次方程式になる。

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x=cosαとおくと,0<x<1

-φ^2{1-4x^3+3x}=x^2(4x^2-3)^2+{4x^2-1}{x^2-x}-1

-φ^2{1-4x^3+3x}=x^2(16x^4-24x^2+9)+{4x^4-4x^3-x^2+x-1}

-φ^2{1-4x^3+3x}=16x^6-20x^4-4x^3+8x^2+x-1

φ^2{4x^3-3x-1}=16x^6-20x^4-4x^3+8x^2+x-1

φ^2(x-1)(4x^2+4x+1)=(x-1)(16x^5+16x^4-4x^3-8x^2+1)

φ^2(4x^2+4x+1)=(16x^5+16x^4-4x^3-8x^2+1)

φ^2(2x+1)^2=(2x+1)(8x^4+4x^3-4x^2-2x+1)

φ^2(2x+1)=(8x^4+4x^3-4x^2-2x+1)

(2cosπ/n)^2(2x+1)=(8x^4+4x^3-4x^2-2x+1)

4次方程式、数値計算は必要である。

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n=3,α=36はこれを満たすはずであるが,NGであった。どこかに誤りがある。

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