球面五角形の辺の長さをαとする。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2cosω

ここで、α→3αに置き換える

cosβ=(cos3α)^2+(sin3α）^2cosω

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(3α/2)）=arccos｛1-2(φsin(3α/2))^2}

正三角形について、

ω’=π-ω

cosα=(cosα)^2+(sinα）^2cosω'

cosα=(cosα)^2-(sinα）^2cosω

cosω={(cosα)^2-cosα}/(sinα）^2

cosβ=(cos3α)^2+(sin3α）^2{(cosα)^2-cosα}/(sinα）^2

1-2φ^2(sin3α/2)^2=(cos3α)^2+{-4(sinα）^2+3}{(cosα)^2-cosα}

1-2φ^2(sin3α/2)^2=(cos3α)^2+{4(cosα）^2-1}{(cosα)^2-cosα}

1-φ^2{1-(cos3α)}=(cos3α)^2+{4(cosα）^2-1}{(cosα)^2-cosα}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する6次方程式になる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x=cosαとおくと,0＜x＜1

-φ^2{1-4x^3+3x}=x^2(4x^2-3)^2+{4x^2-1}{x^2-x}-1

-φ^2{1-4x^3+3x}=x^2(16x^4-24x^2+9)+{4x^4-4x^3-x^2+x-1}

-φ^2{1-4x^3+3x}=16x^6-20x^4-4x^3+8x^2+x-1

φ^2{4x^3-3x-1}=16x^6-20x^4-4x^3+8x^2+x-1

φ^2(x-1)(4x^2+4x+1)=(x-1)(16x^5+16x^4-4x^3-8x^2+1)

φ^2(4x^2+4x+1)=(16x^5+16x^4-4x^3-8x^2+1)

φ^2(2x+1)^2=(2x+1)(8x^4+4x^3-4x^2-2x+1)

φ^2(2x+1)=(8x^4+4x^3-4x^2-2x+1)

(2cosπ/n)^2(2x+1)=(8x^4+4x^3-4x^2-2x+1)

4次方程式、数値計算は必要である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝